Lecture on Теорема Менелая и теорема Чевы в школьном курсе математики

Вашему вниманию предлагается доклад и презентация по теме Теорема Менелая и теорема Чевы в школьном курсе математики . Данны материал, представленный на 20 страницах, поможет подготовится к уроку Mathematics. Он будет полезен как ученикам и студентам, так и преподавателям школ и вузов. Вы можете ознакомиться и скачать этот и любой другой доклад у нас на сайте. Все материалы абсолютно бесплатны и доступны. Ссылку на скачивание Вы можете найти вконце страницы. Если материал Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте сайт в закладки в своем браузере.
Страница #1
Теорема Менелая и теорема Чевы в школьном курсе математики
Страница #2
Содержание
Теоретические основы
Теорема Чевы
Теорема Менелая
Методические рекомендации
Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки
Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии            10 класса     
Применение теорем Менелая и Чевы в решении  стереометрических задач
Содержание Теоретические основы Теорема Чевы Теорема Менелая Методические рекомендации Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач
Страница #3
Теорема Чевы
Пусть в ∆ABC  на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях  взяты соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Теорема Чевы Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Страница #4
Теорема Менелая
Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон  AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно точки C1,A1 и B1, не совпадающие с вершинами  ∆ABC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно точки C1,A1 и B1, не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Страница #5
Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки
1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.
2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая  к задачам на доказательство.   
3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.
4. Решение задач, связанных с нахождением площадей.
5. Комбинированные задачи.
Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки 1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике. 2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство. 3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. 4. Решение задач, связанных с нахождением площадей. 5. Комбинированные задачи.
Страница #6
Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике
Задача 1.В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении  прямая BO делит отрезок AC?


 Задача 2.В ∆ABC на стороне AC  взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?
 

                  Задача 3. В ∆ABC  AA1 - биссектриса, 
                                BB1- медиана; AB=2, AC=3;   
                                  Найти BO: OB1
Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике Задача 1.В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC? Задача 2.В ∆ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM? Задача 3. В ∆ABC AA1 - биссектриса, BB1- медиана; AB=2, AC=3; Найти BO: OB1
Страница #7
Теорема Чевы и ее следствия. 
Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит  каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 
Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Теорема Чевы и ее следствия. Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Страница #8
Теорема Чевы и ее следствия. 
 Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
 Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается  противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Теорема Чевы и ее следствия. Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Страница #9
Применение теорем Чевы и Менелая  к задачам на доказательство
Задача 1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника     пополам, пересекаются в одной точке.
Задача 2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB.  Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С  лежат на одной прямой.
Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство Задача 1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке. Задача 2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.
Страница #10
Задачи на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5,  AC = 4. Точки A1,В1 и C1 - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC  и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA1 и CC1. Найдите AP:PA1.

Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Задачи на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A1,В1 и C1 - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA1 и CC1. Найдите AP:PA1. Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Страница #11
Задачи на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Задача 3. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние  1,5. Найдите длину стороны AB. 

Задача 4. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK=1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL.  S = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.
Задачи на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Задача 3. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB. Задача 4. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK=1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.
Страница #12
Задачи, связанные с нахождением
                  площадей
Задача 1. Медиана BD и биссектриса AE  треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4,  AE=6.



Задача 2. На сторонах AB и  BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM  пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.
Задачи, связанные с нахождением площадей Задача 1. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6. Задача 2. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.
Страница #13
Комбинированные задачи.

Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L  является точкой пересечения отрезков MA и  NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?
 
Задача 2.  В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и  боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Комбинированные задачи. Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA? Задача 2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Страница #14
Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 
                     10 класса
   Урок 1. Теорема Менелая и теорема  Чевы.
Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса Урок 1. Теорема Менелая и теорема Чевы.
Страница #15
II способ. Рассмотрим треугольник BCN  и секущую AK. По теореме Менелая
II способ. Рассмотрим треугольник BCN и секущую AK. По теореме Менелая
Страница #16
Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы 
                в решении ключевых задач
Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач
Страница #17
Задача. В равнобедренном треугольнике ABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти 
 Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим  ∆AMC  и секущую NB.      По теореме Менелая
Задача. В равнобедренном треугольнике ABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим ∆AMC и секущую NB. По теореме Менелая
Страница #18
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.
Задача 1.На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной  D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?

Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD  с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка M так, что DM=2CD . Через точки М, В и середину ребра SC   проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач. Задача 1.На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К? Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка M так, что DM=2CD . Через точки М, В и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Страница #19
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.
Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами AA1,BB1 и CC1. Причем на продолжении ребра BA  взята точка M так, что MA=AB. Через точки M,B1 и середину ребра AC  проведена  плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач. Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами AA1,BB1 и CC1. Причем на продолжении ребра BA взята точка M так, что MA=AB. Через точки M,B1 и середину ребра AC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?
Страница #20
«Умение решать задачи- такое же     
    практическое искусство, как
    умение плавать или бегать. Ему
    можно научиться только путем 
    подражания или упражнения»
                                                    Д.Пойа
«Умение решать задачи- такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения» Д.Пойа