Решение диофантовых уравнений - 44344_prezentaciya-na-temu-reshenie-diofantovyx-uravnenij доклад по теме Математика

Доклад раскрывает тему "Решение диофантовых уравнений - 44344_prezentaciya-na-temu-reshenie-diofantovyx-uravnenij".
Презентация поможет подготовится к предмету Математика, может быть полезна как ученикам и студентам, так и преподавателям.
Материал представлен на 15 страницах, оформлен в виде презентации, доступен для скачивания и просмотра онлайн.

Навигация по документу

Страница №1
Страница №2
Цели и задачи.
Цели и задачи.
Биография Диофанта
Диофантовы уравнения с одной неизвестной
Диофантовые уравнения первой степени
Диофантовые уравнения высших степеней
Другие методы решения диофантовых уравнений
Цели и задачи. Цели и задачи. Биография Диофанта Диофантовы уравнения с одной неизвестной Диофантовые уравнения первой степени Диофантовые уравнения высших степеней Другие методы решения диофантовых уравнений
Страница №3
Цели : научиться находить  решения неопределенного диофантового уравнения, если это решение имеется.
 Для достижения наших целей, были поставлены следующие задачи:
    1) Изучить литературу о Диофанте, и о диофантовых уравнениях.
    2) Понять, как решаются диофантовые уравнения.
    3) Найти различные методы их решеня.
    4) Систематизировать материал.
    5) Выступить с ним на научной конференции.
Цели : научиться находить решения неопределенного диофантового уравнения, если это решение имеется. Для достижения наших целей, были поставлены следующие задачи: 1) Изучить литературу о Диофанте, и о диофантовых уравнениях. 2) Понять, как решаются диофантовые уравнения. 3) Найти различные методы их решеня. 4) Систематизировать материал. 5) Выступить с ним на научной конференции.
Страница №4
Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. 
        Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. 
        Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
Страница №5
«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида ,  или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.
«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.
Страница №6
В дальнейшем нам потребуются следующие определения
В дальнейшем нам потребуются следующие определения
 Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с n неизвестными называется уравнение вида   a1x1+a2x2+ … +anxn = b,
где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно ai≠0. 
Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.
Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n - ка целых чисел  (( x1, x2 … ,xn )) , такая, что   a1x1+a2x2+ … +anxn=b.
Нашей целью будет  научиться находить  решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется.
Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.
2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
В дальнейшем нам потребуются следующие определения В дальнейшем нам потребуются следующие определения Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с n неизвестными называется уравнение вида a1x1+a2x2+ … +anxn = b, где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно ai≠0. Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ. Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n - ка целых чисел (( x1, x2 … ,xn )) , такая, что a1x1+a2x2+ … +anxn=b. Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется. Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы: 1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения. 2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
Страница №7
Рассмотрим уравнение 
     Рассмотрим уравнение 
     a0 + a1x + ... + anxn = 0, (2) где aj Є Z  (j = 0,...,n), an ≠ 0. 
     Покажем, каким образом можно определить все рациональные корни  уравнения (2) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида (2) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что a0 ≠ 0. Пусть r - рациональный корень уравнения (2), r = pq, где p Є Z, q  Є N*,  (p, q) = 1. Умножая обе части равенства a0+a1p∕q+ … +an(p/q)n=0,
     на qn, получим 
    a0qn + a1p*qn-1 + ... + an-1pn-1q + anpn = 0, 
     следовательно, 
     pa0qn  и  qanpn.(3)Так как (p,q) = 1, то (p,qn) = 1, (q,pn) = 1, поэтому из соотношений (3) следует, что pa0, qan. 
     Поскольку рациональных чисел вида r = p/q, таких что (p,q) = 1,  pa0, qan, конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них, которые являются решением уравнения (2). Как следует из приведенных выше рассуждений, других решений уравнение (2) иметь не может.
Рассмотрим уравнение Рассмотрим уравнение a0 + a1x + ... + anxn = 0, (2) где aj Є Z (j = 0,...,n), an ≠ 0. Покажем, каким образом можно определить все рациональные корни уравнения (2) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида (2) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что a0 ≠ 0. Пусть r - рациональный корень уравнения (2), r = pq, где p Є Z, q Є N*, (p, q) = 1. Умножая обе части равенства a0+a1p∕q+ … +an(p/q)n=0, на qn, получим a0qn + a1p*qn-1 + ... + an-1pn-1q + anpn = 0, следовательно, pa0qn и qanpn.(3)Так как (p,q) = 1, то (p,qn) = 1, (q,pn) = 1, поэтому из соотношений (3) следует, что pa0, qan. Поскольку рациональных чисел вида r = p/q, таких что (p,q) = 1, pa0, qan, конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них, которые являются решением уравнения (2). Как следует из приведенных выше рассуждений, других решений уравнение (2) иметь не может.
Страница №8
Информация вложена в изображении слайда
Страница №9
Информация вложена в изображении слайда
Страница №10
Информация вложена в изображении слайда
Страница №11
Информация вложена в изображении слайда
Страница №12
Информация вложена в изображении слайда
Страница №13
Информация вложена в изображении слайда
Страница №14
Информация вложена в изображении слайда
Страница №15
Информация вложена в изображении слайда