Рациональные уравнения - презентация по Геометрии доклад по теме Геометрия

Страница №1
Страница №2
Информация вложена в изображении слайда
Страница №3
Информация вложена в изображении слайда
Страница №4
Информация вложена в изображении слайда
Страница №5
Способ подстановки
При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.
Например, в уравнении                                         , 
          где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую  
                переменную y=Р(х), решить полученное
                     квадратное уравнение 
                             относительно y и, наконец, решить 
                                    уравнение  Р(х)= yо, где yо – корень 
                                                 уравнения
Способ подстановки При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой. Например, в уравнении , где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую переменную y=Р(х), решить полученное квадратное уравнение относительно y и, наконец, решить уравнение Р(х)= yо, где yо – корень уравнения
Страница №6
Пример 
Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную. Пусть     
    
   Тогда получим уравнение
                          
    Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку. 
   
                                                           Ответ: 2; 3.
Пример Решите уравнение Решение. Введем новую переменную. Пусть Тогда получим уравнение Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку. Ответ: 2; 3.
Страница №7
Распадающееся уравнение
 Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду                            , где                     – рациональные выражения с переменной х.
 Для решения воспользуемся равносильным переходом  


 Применяемые приемы разложения на множители: 
              - вынесение общего  множителя за скобки;
                         - способ группировки; 
                             -формулы сокращенного умножения.
Распадающееся уравнение Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду , где – рациональные выражения с переменной х. Для решения воспользуемся равносильным переходом Применяемые приемы разложения на множители: - вынесение общего множителя за скобки; - способ группировки; -формулы сокращенного умножения.
Страница №8
Пример 
Решите уравнение
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:
    Воспользуемся равносильным переходом:
                                                           Ответ:-2;0;1;2.
Пример Решите уравнение Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: Воспользуемся равносильным переходом: Ответ:-2;0;1;2.
Страница №9
Однородное уравнение 2-го порядка  
При решении уравнения надо проверить две ситуации:
    1)                         т.е. корнями заданного уравнения
                                 являются решения этой системы.
    2) Если   Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение


                                  которое подстановкой                    сводится
                                     к квадратному уравнению
                                            В ответ включают числа, полученные
                                             при рассмотрении обеих ситуаций.
Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две ситуации: 1) т.е. корнями заданного уравнения являются решения этой системы. 2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение которое подстановкой сводится к квадратному уравнению В ответ включают числа, полученные при рассмотрении обеих ситуаций.
Страница №10
Пример 
Решить уравнение 
  (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0. 
Решение.  Возможны две ситуации.
Рассмотрим первую:
Пример Решить уравнение (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0. Решение. Возможны две ситуации. Рассмотрим первую:
Страница №11
Продолжение решения 
Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на  (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид 
  
    Обозначим                                      и решим квадратное 
                           уравнение  t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
                                Обратная подстановка дает уравнения 
                                                                откуда х = -0,5 и х = -2.
                                                  С учетом обеих ситуаций получаем
                                                        ответ: - 0,5; -2; 2.
Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид Обозначим и решим квадратное уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2. Обратная подстановка дает уравнения откуда х = -0,5 и х = -2. С учетом обеих ситуаций получаем ответ: - 0,5; -2; 2.
Страница №12
Биквадратное уравнение
Уравнение имеет вид 
                                             aх4+bх2+c=0.   
Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2.
     Получаем квадратное уравнение
        at2+bt+c=0.
    Находим значения t  и, сделав обратную подстановку,   находим корни исходного уравнения. 
                Замечание. 
                        При решении биквадратного уравнения можно 
                                получить от 1 до 4-х корней или же это
                                 уравнение может совсем не иметь корней.
Биквадратное уравнение Уравнение имеет вид aх4+bх2+c=0. Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2. Получаем квадратное уравнение at2+bt+c=0. Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения. Замечание. При решении биквадратного уравнения можно получить от 1 до 4-х корней или же это уравнение может совсем не иметь корней.
Страница №13
Пример 
Решите уравнение  х4–3х2–4=0.
Решение. 
    Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное уравнение
                                       t2–3t–4=0,
   корни которого t = -1 и t = 4.
   Обратная замена дает два уравнения
   x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.
                     Ответ: -2; 2.
Пример Решите уравнение х4–3х2–4=0. Решение. Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное уравнение t2–3t–4=0, корни которого t = -1 и t = 4. Обратная замена дает два уравнения x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2. Ответ: -2; 2.
Страница №14
Симметричное уравнение 
3-го порядка
Уравнение имеет вид
                                          ах3+bх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые:         а(х3+1)+bх(х+1)=0.
  Применим формулу суммы кубов 
                                           а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0
      и выполним разложение на множители
                                                (х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0.
           Получили распадающееся уравнение. Значит,
                                      х+1=0  или   ах2+(b - а)х+а=0.
                     Решив эти два уравнения, найдем корни 
                                  исходного уравнения.
Симметричное уравнение 3-го порядка Уравнение имеет вид ах3+bх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0 и выполним разложение на множители (х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0. Получили распадающееся уравнение. Значит, х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения.
Страница №15
Пример 
Решите уравнение  2х3–3х2– 3х +2=0.
Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки: 
                                      2(х3+1)–3х(х+1)=0.
     Применим формулу суммы кубов и вынесем общий   множитель (х+1):
                                      2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0,
                                        (х+1)(2х2 –5х+2)=0.
                        Значит,
                                      х+1=0  или 2х2 –5х+2=0.
                                Решив эти два уравнения, найдем корни       
                                      исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
                                            Ответ: -1; 0,5; 2.
Пример Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0. Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки: 2(х3+1)–3х(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1): 2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0, (х+1)(2х2 –5х+2)=0. Значит, х+1=0 или 2х2 –5х+2=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения: -1; 0,5; 2. Ответ: -1; 0,5; 2.
Страница №16
Симметричное уравнение 
4-го порядка
Уравнение имеет вид
                ах4+bх3+сх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х2. Получаем 

                 

Сделаем подстановку                         , тогда  

                             Получаем квадратное уравнение 
                                         a(t2-2)+bt+c=0.
         Находим значения t и делаем обратную  подстановку.
Симметричное уравнение 4-го порядка Уравнение имеет вид ах4+bх3+сх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х2. Получаем Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение a(t2-2)+bt+c=0. Находим значения t и делаем обратную подстановку.
Страница №17
Пример 
Решите уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение: 
    
     Сделаем подстановку                  , тогда
  
           Получаем квадратное уравнение                          , корни 
                      которого 2 и -3,5.
                          Обратная подстановка дает два рациональных
                             уравнения                  и   
                              откуда и находим корни исходного уравнения. 
                                    Ответ: 1;
Пример Решите уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение: Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение , корни которого 2 и -3,5. Обратная подстановка дает два рациональных уравнения и откуда и находим корни исходного уравнения. Ответ: 1;
Страница №18
Возвратное уравнение 
Уравнение вида
                                ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, 
    где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и                     ,                  
    называется возвратным   уравнением четвертого порядка.
  
              Это уравнение сводится к квадратному с     
                      помощью  подстановки
Возвратное уравнение Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и , называется возвратным уравнением четвертого порядка. Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки
Страница №19
Пример 
Решить уравнение 
                               x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0. 

Решение. Заметим, что                      и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка. 
    Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение
 
  
    Обозначим                   , тогда  
             и уравнение примет вид  t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1. 
                       Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0  
                                   получаем два квадратных уравнения
                                             x2 + 2x - 2 = 0,         x2 - x - 2 = 0,
                                                откуда и получим корни исходного уравнения.
                                                                       Ответ:
Пример Решить уравнение x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0. Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка. Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение Обозначим , тогда и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1. Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0 получаем два квадратных уравнения x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0, откуда и получим корни исходного уравнения. Ответ:
Страница №20
Уравнения вида 
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m 
 Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, 
        (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 
        (x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd = 
                             = x2 + (a + b)x + cd 
 Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное  
           уравнение 
                        (t + ab)(t + cd) = m
                          Из этого уравнения найдем значения t и, 
                             сделав обратную подстановку, закончим
                                        решение исходного уравнения.
Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd = = x2 + (a + b)x + cd Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m Из этого уравнения найдем значения t и, сделав обратную подстановку, закончим решение исходного уравнения.
Страница №21
Пример 
Решить уравнение 
                     (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19. 
Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4.  Удобно группируя, получим 
                     [(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19 
     или 
                     (x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19. 
    Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18. 
                 Уравнение примет вид 
                           t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0, 
                               откуда t = -19 и t = 1. 
                                    Сделав обратную подстановку, получим 
                                               x2 + 5x - 14 = -19 и   x2 + 5x - 14 = 1.
                                           Окончательный ответ:
Пример Решить уравнение (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19. Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим [(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19 или (x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19. Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18. Уравнение примет вид t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0, откуда t = -19 и t = 1. Сделав обратную подстановку, получим x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1. Окончательный ответ:
Страница №22
Уравнение вида 
(x + a)4 + (x + b)4 = c 
Используя подстановку                    , уравнение
   можно свести к биквадратному уравнению относительно t. 
Действительно, подставив в уравнение                   , получим
                                              Обозначим                  и возведем 
     
               каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения 
                           подобных получим  биквадратное уравнение
Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя подстановку , уравнение можно свести к биквадратному уравнению относительно t. Действительно, подставив в уравнение , получим Обозначим и возведем каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения подобных получим биквадратное уравнение
Страница №23
Пример 
Решить уравнение 
                                 (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82. 
Решение. Сделаем подстановку 
       Получим следующее уравнение относительно t: 
                              (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82 
     или 
    t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0. 
              Откуда получим биквадратное уравнение 
                                t4 + 24t2 - 25 = 0, 
                        корни которого  t = ± 1. 
                           Следовательно, x + 1 = ± 1. 
                                    Значит, корни исходного уравнения  
                                     x = -2 и x = 0. 
                                           Ответ: -2;0.
Пример Решить уравнение (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82. Решение. Сделаем подстановку Получим следующее уравнение относительно t: (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82 или t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0. Откуда получим биквадратное уравнение t4 + 24t2 - 25 = 0, корни которого t = ± 1. Следовательно, x + 1 = ± 1. Значит, корни исходного уравнения x = -2 и x = 0. Ответ: -2;0.
Страница №24
Уравнение вида 
Решить уравнение Р(х) = 0.
Для каждого корня уравнения Р(х) = 0 
    сделать проверку: удовлетворяет ли он 
    условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то 
    это — корень заданного уравнения, 
        а если нет, то  этот корень является 
             посторонний для заданного уравнения
                  и в ответ его включать не следует.
Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0. Для каждого корня уравнения Р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то это — корень заданного уравнения, а если нет, то этот корень является посторонний для заданного уравнения и в ответ его включать не следует.
Страница №25
Пример 
 Решите уравнение   
  
Решение. 
 Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:
      
                 
          Значение х = 2 не удовлетворяет условию
                       Следовательно, уравнение имеет один    
                             корень х= 4. 
                                  Ответ: 4.
Пример Решите уравнение   Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:    Значение х = 2 не удовлетворяет условию Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4.
Страница №26
Уравнение вида 
Подстановкой                    это уравнение 
    сводится к виду


Умножим на            и решим полученное  квадратное   
               уравнение относительно t.
                  Остается сделать обратную  подстановку 
                         где tо  - корень квадратного уравнения, 
                               и решить полученное уравнение
                                    относительно х.
Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где tо - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х.
Страница №27
Уравнение вида 
Подстановкой                    это уравнение 
    сводится к виду


Умножим на            и решим полученное  квадратное   
               уравнение относительно t.
                  Остается сделать обратную  подстановку 
                         где tо  - корень квадратного уравнения, 
                               и решить полученное уравнение
                                    относительно х.
Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где tо - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х.
Страница №28
Пример 
 Решите уравнение   
  
Решение. 
     Сделаем подстановку                   и решим полученное 
     уравнение относительно t :
      
                 
                      Обратная подстановка приводит к уравнению
                                                      
                                                         корень которого х = -1. 
                                                                   Ответ: -1.
Пример Решите уравнение   Решение. Сделаем подстановку и решим полученное уравнение относительно t :    Обратная подстановка приводит к уравнению корень которого х = -1. Ответ: -1.
Страница №29
Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 
1-й способ
Перенести все члены уравнения 
     в одну часть.
Привести уравнение к виду                и найти корни полученного уравнения.
2-й способ
Определить О.Д.З. уравнения.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение.
Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.
Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способ Перенести все члены уравнения в одну часть. Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения. 2-й способ Определить О.Д.З. уравнения. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение. Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.
Страница №30
Пример 
 Решите уравнение   
  

Решение. Найдём О.Д.З.  Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.
     Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.
      
                
     .  
           Приравняем числитель дроби к нулю:          х2 – 6х + 8 = 0. 
               Находим корни квадратного уравнения:       х = 4 и х = 2.
                      Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З. 
                       Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. 
                                  Ответ: 4.
Пример Решите уравнение   Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0. Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.    . Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0. Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2. Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З. Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4.
Страница №31
Уравнения вида 
   Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной
Уравнения вида Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной
Страница №32
Пример 
Решить уравнение 
   
Решение. О.Д.З. уравнения есть множество                 
    Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде 
               (разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x). 
                             
                          Обозначим                      и уравнение примет вид
Пример Решить уравнение Решение. О.Д.З. уравнения есть множество Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде (разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x). Обозначим и уравнение примет вид
Страница №33
Продолжение решения
О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1. 
 Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению
                               2t2 - 13t + 11 = 0, 
 корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З.. 
      Делаем обратную подстановку и получаем два 
         рациональных уравнения
 
                      решив которые находим корни заданного
                          уравнения.  
                                             Ответ:
Продолжение решения О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1. Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению   2t2 - 13t + 11 = 0, корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З.. Делаем обратную подстановку и получаем два рациональных уравнения решив которые находим корни заданного уравнения. Ответ:
Страница №34
Литература 
Алгебра и  математический анализ, 10      Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов,        С.И. Шварцбурд 
Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы»)                                             Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.
Литература Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.