Метод рационализации доклад по теме Алгебра

Вашему вниманию предлагается доклад и презентация по теме Метод рационализации. Данны материал, представленный на 33 страницах, поможет подготовится к уроку Алгебра. Он будет полезен как ученикам и студентам, так и преподавателям школ и вузов. Вы можете ознакомиться и скачать этот и любой другой доклад у нас на сайте. Все материалы абсолютно бесплатны и доступны. Ссылку на скачивание Вы можете найти вконце страницы. Если материал Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте сайт в закладки в своем браузере.
Страница #1
Страница #2
Решение неравенств  - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.
Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.
Страница #3
Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида                                             является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:
Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:
Страница #4
Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции.
     		Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором    неравенство    G(x) 0    равносильно    неравенству 
      F(x) 0 в области определения выражения F(x).
Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).
Страница #5
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
                                    ,   (1)
где                            - некоторые функции
Теорема 1. 
Логарифмическое неравенство 
равносильно следующей системе неравенств:
                                                                      
                                                           (2)
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств: (2)
Страница #6
Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство.
     		Если                , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство                   
     
      	Если                , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство               
                                                                    
      	Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. 
      Терема доказана.
Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.
Страница #7
Теперь рассмотрим показательное неравенство вида
		                                                 3)
      Так же, как в предыдущем пункте,                         - некоторые функции.
     		И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).
		Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.
Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.
Страница #8
Теорема 2. 
Показательное неравенство 
равносильно следующей системе неравенств:
                                                                                            
                                                          (4)
Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств: (4)
Страница #9
Если                 , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный,    тогда    получится    неравенство                                          
                             . 
     		Если                 , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения  знака  неравенства,  получаем неравенство                      
                          .
Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство .
Страница #10
Информация вложена в изображении слайда
Страница #11
Информация вложена в изображении слайда
Страница #12
Доказательство
     	Пусть  loga f- loga g> 0, то есть   loga f> loga g, причём a > 0, a ≠ 1, f > 0,  g > 0.
      Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем      f < g. Значит, выполняется система неравенств
                      a -1<0  
                      f – g < 0
      Откуда следует неравенство (a – 1)(f – g) > 0  верное на области определения выражения      F = loga f- logag. 
      Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство  (a – 1)(f – g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем.  
                     a – 1<0                        a – 1 > 0
                     f – g < 0                       f – g > 0

Из каждой системы следует неравенство loga f> loga  g, то есть loga f- loga g> 0. 
Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0,  F ≤ 0,  F ≥ 0.
Доказательство Пусть loga f- loga g> 0, то есть loga f> loga g, причём a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0. Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств a -1<0 f – g < 0 Откуда следует неравенство (a – 1)(f – g) > 0 верное на области определения выражения F = loga f- logag. Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a – 1<0 a – 1 > 0 f – g < 0 f – g > 0 Из каждой системы следует неравенство loga f> loga g, то есть loga f- loga g> 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
Страница #13
Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем 
                                             
                                             = 
    
     Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
     
      или    (h-1)(f-g) .
Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или (h-1)(f-g) .
Страница #14
Так как                        
                   =                                                
    то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).
Так как = то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).
Страница #15
Из неравенства            > 0 следует              . Пусть число а > 1, тогда                                    loga         > loga                или          (h – g)loga h > 0.
   Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем 
   (f – g)(a – 1)(h – 1) > 0,      (f – g)(h – 1) > 0. 
   Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.


    Доказательство проводится аналогично доказательству 4.


    Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств         | p | > | q |   и  p2 > q2    ( | p | < | q | и p2 < q2).
Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда loga > loga или (h – g)loga h > 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем (f – g)(a – 1)(h – 1) > 0, (f – g)(h – 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0. Доказательство проводится аналогично доказательству 4. Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p2 > q2 ( | p | < | q | и p2 < q2).
Страница #16
Информация вложена в изображении слайда
Страница #17
Информация вложена в изображении слайда
Страница #18
Информация вложена в изображении слайда
Страница #19
Информация вложена в изображении слайда
Страница #20
Информация вложена в изображении слайда
Страница #21
Информация вложена в изображении слайда
Страница #22
Информация вложена в изображении слайда
Страница #23
Информация вложена в изображении слайда
Страница #24
Информация вложена в изображении слайда
Страница #25
Информация вложена в изображении слайда
Страница #26
Информация вложена в изображении слайда
Страница #27
Информация вложена в изображении слайда
Страница #28
Информация вложена в изображении слайда
Страница #29
Информация вложена в изображении слайда
Страница #30
Информация вложена в изображении слайда
Страница #31
Информация вложена в изображении слайда
Страница #32
Информация вложена в изображении слайда
Страница #33
Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.
Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972.
Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.
 
Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.  

Готовые презентации по алгебре можно использовать как материал для наглядного изучения новой темы на уроке алгебры: учитель демонстрирует изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показывает примеры по решению задач и уравнений, а также проверяет знания учеников с помощью ответов на вопросы. В данном разделе Вы можете скачать готовые презентации по алгебре и началу анализа для 6,7,8,9,10,11 класса.