Ряды Фурье доклад по теме Алгебра

Вашему вниманию предлагается доклад и презентация по теме Ряды Фурье. Данны материал, представленный на 19 страницах, поможет подготовится к уроку Алгебра. Он будет полезен как ученикам и студентам, так и преподавателям школ и вузов. Вы можете ознакомиться и скачать этот и любой другой доклад у нас на сайте. Все материалы абсолютно бесплатны и доступны. Ссылку на скачивание Вы можете найти вконце страницы. Если материал Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте сайт в закладки в своем браузере.
Страница #1
Ряды Фурье Лекции 15, 16
Страница #2
Определение ортогональной системы функций
     Тригонометрическая система функций 

       называется ортогональной на отрезке    [-,] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .
Определение ортогональной системы функций Тригонометрическая система функций называется ортогональной на отрезке [-,] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .
Страница #3
Примеры
    Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. 
                     в силу нечетности подынтегральной функции.
Примеры Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. в силу нечетности подынтегральной функции.
Страница #4
Определение ряда Фурье
  Тригонометрический ряд 
                                                                          , 
    
    коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е. 
   называется рядом Фурье периодической с периодом 2π  функции.
Определение ряда Фурье Тригонометрический ряд , коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е. называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.
Страница #5
Определение кусочно-монотонной функции
   Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна.
   Примеры кусочно-монотонных функций:1)                            , 2)sinx, 3)cosx .
Определение кусочно-монотонной функции Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна. Примеры кусочно-монотонных функций:1) , 2)sinx, 3)cosx .
Страница #6
Достаточный признак сходимости ряда Фурье
    Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-,] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то
                                                       .
Достаточный признак сходимости ряда Фурье Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-,] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то .
Страница #7
Разложение в ряды Фурье четных функций
    Если f(x) –четная функция, то функции 
                         являются нечетными,  а функции                        -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла :
                        , если f(x) – нечетна, и
                               , если f(x) – четна
Разложение в ряды Фурье четных функций Если f(x) –четная функция, то функции являются нечетными, а функции -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла : , если f(x) – нечетна, и , если f(x) – четна
Страница #8
Продолжение
   получим
   Тогда имеем:                                         , 
   где
   для четной функции.
Продолжение получим Тогда имеем: , где для четной функции.
Страница #9
Ряд Фурье нечетной функции
    Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид:
                                                   ,

   где коэффициенты
Ряд Фурье нечетной функции Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид: , где коэффициенты
Страница #10
Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции 
   Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π    функции, положив           . Тогда 
   функция                           имеет период 2 π. В самом деле:
Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив . Тогда функция имеет период 2 π. В самом деле:
Страница #11
Продолжение
    Разложим в ряд Функцию         , а затем вернемся к старой переменной. Имеем
                                                                   , где 
                                                          , 
                                   
                                            
                                                            ,
Продолжение Разложим в ряд Функцию , а затем вернемся к старой переменной. Имеем , где , ,
Страница #12
Ряд Фурье четной функции
    Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы:                                           , где
Ряд Фурье четной функции Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы: , где
Страница #13
Ряд Фурье нечетной функции
   Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде:
                                                    , где
Ряд Фурье нечетной функции Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде: , где
Страница #14
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
    Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную.
     Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.
Разложение в ряд Фурье непериодических функций Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную. Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.
Страница #15
Пример разложения функции в ряд Фурье
      1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам  и б) по косинусам. Доопределим функцию  до периодической нечетным образом.
Пример разложения функции в ряд Фурье 1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.
Страница #16
Решение 
    Тогда                                     , где
    Вычислим интеграл по частям:
Решение Тогда , где Вычислим интеграл по частям:
Страница #17
Продолжение
    Таким образом,                       , а 
                                        , где               или
Продолжение Таким образом, , а , где или
Страница #18
Продолжение 
   Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда                                       .
Продолжение Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда .
Страница #19
Продолжение
     При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит,                , а при  – нечетном, т.е. при              ,                                     
                                          
                                         . Тогда
    Мы получили разложение  функции в ряд Фурье на промежутке (0,).
Продолжение При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит, , а при – нечетном, т.е. при , . Тогда Мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке (0,).

Готовые презентации по алгебре можно использовать как материал для наглядного изучения новой темы на уроке алгебры: учитель демонстрирует изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показывает примеры по решению задач и уравнений, а также проверяет знания учеников с помощью ответов на вопросы. В данном разделе Вы можете скачать готовые презентации по алгебре и началу анализа для 6,7,8,9,10,11 класса.