Алгебраические преобразования с параметрами Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приво презентация по теме Математика

  • Алгебраические преобразования с параметрами
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. В моем реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.
  • В в е д е н и е
Первой, и, пожалуй самой просто функцией является линейная функция y=kx+m.                                  
 
 Вы знаете что при конкретных k  и m 
графиком функции y=kx+m 
является прямая линия.
Так же из курса школьной программы мы уже знаем, что k=tgа, где а-угол наклона прямой к оси ОХ, а 
m-ордината точки, в которой прямая пересекается с осью ОУ. И если мы будем изменять значение k , то через одну точку пересечения m с осью ОУ проходит несколько различных прямых. Если же k зафиксировать, а m менять, то получим семейство параллельных прямых.
Теперь поближе познакомимся с линейными уравнениями. Линейные уравнения с двумя переменными называется уравнение вида ax+by+c=0. Если b=0, то его можно привести к виду y= -ax:b-c:b, и, положив k= -a:b и
m= -c:b, получить стандартный вид y=kx+m. Если же b=0, то уравнение приводится к виду x= -c:b и мы получаем прямую, параллельную оси OY.
Рассмотри подробнее случай b=0. Тогда, как было указано, мы можем привести уравнение к виду y=kx+m. Посмотрим, как меняется график функции y(x)  при изменении коэффициентов k и m ,то есть как функция y(x)  зависит от параметров k и m.
Если k<0, то функция убывает, если k=0, то функция постоянна, и если k>0, то функция возрастает (рис. 1).
Если m<0, то точка пересечения с осью ОУ будет в нижней полуплоскости, если m=0, то прямая пройдёт через начало координат, и если m>0, то график будет пересекаться с осью ОУ в верхней полуплоскости (рис. 2).
  k<0              k=0                  k>0                          m<0                 m=0                    m>0

                                 
                            рис. 1                                                                             рис. 2
  • П Р И М Е Р №1
Для каждого значения а определите число решений уравнения /x -2x -3/=a

Решение. В этой задаче параметр уже выражен через переменную. Таким образом, надо просто аккуратно построить график данной функции.
                       а
                     4
                       0                    X
Количество решений уравнения при фиксированном а определяется числом точек пересечения построенного графика с прямыми у=а, проходящими параллельно оси X. Отсюда сразу следует, что при а>4 и при а=0 имеем два решения, при а=4 – три решения, при а (0;4) – четыре решения и, наконец, при а<0 решений не существует.
Ответ. Если а (4;+00), то два решения;
           если а    4    , то три решения;
           если а (0;4), то четыре решения;
           если а    0   , то два решения;
           если а (-00; 0), то нет решений.
  • П Р И М Е Р №2
Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение             
(x-p) (p(x-p) -p-1)=-1  имеет больше положительных корней, чем отрицательных.
Решение.  Если p=0, то данное уравнение принимает вид  x =1. Это уравнение имеет корни x =1 и x =-1. Следовательно, в этом случае число положительных и число отрицательных корней одинаково, и такое p условию задачи не удовлетворяет.
Пусть p=0. Обозначим z=(x-p) >0, тогда исходное уравнение принимает вид    
pz –(p+z)z+1=0 (*).  
Корнями уравнения (*) являются z =1  z =1  .      
1)Если p<0, то z <0, что  противоречит определению z , поэтому остается только z=1 и исходное уравнение имеет два корня: x =p+1 и x =p-1. Легко видеть, что при -1< p <0 имеем x >0 и x <0,  
                        при  p<-1 имеем x <0 и x <0,                                                        
                      а при p=-1  получаем x =0 и x =-2.
Следовательно, ни при каком p<0  исходное уравнение не имеет положительных корней больше, чем отрицательных, то есть никакие значения p<0  условию не удовлетворяют.
  • П Р И М Е Р №2
2) Если p>0, то и z >0  исходное уравнение имеет четыре корня:
       
   x =p+1,      x =p-1,      x =p+ 1,         x =p - 1
       
 Пусть 0<p<1, тогда x >0, x <0, x >0, x <0, таким образом, такие p  не подходят. 
Пусть p=1. Тогда x =2, x =0, x =2, x =0. Следовательно, p=1 подходит. Пусть p>1, 
тогда x >0 при i=1,2,3,4. Таким образом, подходят все p>1
Ответ. p принадлежит  [1;+00).
  • П Р И М Е Р №3
Решите уравнение log  a + log  (x – 1) = log  (   x-1 ) + log     x+1.
 Решение ОДЗ: x > 1, a > 0, a = 1.
   
log  a + log  (x – 1) = log  (   x-1 ) + log     x+1
 
log  (a  (x – 1))= log  ((  x – 1)    x+1),

a  (x  -1) = (x-1)     (x-1)(x+1),

 a  (x-1)(x+1) = (x-1)     (x-1)(x+1)
 Так как x=-1 и  x=1, сократим обе части уравнения на (x-1)    (x-1)(x+1)
                                  a      x+1=    x - 1
Возведём обе части полученного уравнения в квадрат:
  a   (x+1) = x-1          a  x + a  = x – 1              x(1 - a  ) = a  + 1
Так как a = -1 и a = 1. то  x = 1+a
  • П Р И М Е Р №3
Для того чтобы значения x являлось решением уравнения, должно выполняться условие  x>1 , то есть 1 + а

Выясним, при каких значениях параметр a  это неравенство истинно:
 1 + a                2a     


Так как a >0, то полученная дробь положительна, если 1 – a > 0, то есть при a <1.
Итак, при 0 < a < 1, x > 1,  значит при 0 < a < 1  x является корнем исходного уравнения.
Ответ.  При a < 0, a = 1 уравнение не имеет смысла,
             при a > 1  решений нет,
             при 0 < a < 1 x = 1 + a
  • П Р И М Е Р №4
Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений имеет два действительных решения.
 4y = 4b + 3 – x +2x
 x + y =2x

Решение.  Преобразуем исходную систему следующим образом:
4y = 4b + 3 – x +2x              4y = 4b+4 –(x-1)                     y - 4y +4b +3=0 
 x + y =2x                            (x-1) = 1-y                              (x-1)  = 1-y
Рассмотрим второе уравнение последней системы. Так как (x-1) >0, то значение переменной y должно лежать на отрезке    -1;1  .
Путём подстановки в систему проверяем, что при y=+1 исходная система не имеет двух действительных решений, и условие на переменную y  выглядит следующим образом: y принадлежит   ( -1;1) .  (*)
Решения первого уравнения при b<  1   имеют вид y    =2+    1-4b 
А при b>1    не существуют. Имеем y  >2, то есть условие (*) не выполняется. 
Таким образом, чтобы существовало решение системы, необходимо следующее:
  • П Р И М Е Р №4
  -1 < 2 -   1-4b < 1

  2 -   1-4b <-1                  1 - 4b < 3                      1 – 4b < 9
  2 -   1-4b <1                   1 - 4b >1                       1 – 4b > 1

b принадлежит (-2;0)

Ответ. b принадлежит (-2;0).
  • Заключение
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. И работая, я способствовала расширению своего математического кругозора, интеллекта, развитию умения анализировать, сравнивать и обобщать, глубоко и прочно усвоив материал.
  • Л И Т Е Р А Т У Р А
Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.
ОЛВЗМШ МГУ «Задачи с параметрами»
«Система дополнительных занятий по математике 11 класс» С.А. Агалоков
Открыть доклад
Презентация по теме Алгебраические преобразования с параметрами Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приво. Материал содержит 11 слайдов. Вы можете использовать его для подготовки к уроку Математика. Он будет полезен как ученикам и студентам, так и преподавателям школ и вузов. Вы можете просмотреть презентацию у нас на сайте или скачать к себе. Все материалы абсолютно бесплатны.

Алгебраические преобразования с параметрами Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. В моем реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

В в е д е н и е Первой, и, пожалуй самой просто функцией является линейная функция y=kx+m. Вы знаете что при конкретных k и m графиком функции y=kx+m является прямая линия. Так же из курса школьной программы мы уже знаем, что k=tgа, где а-угол наклона прямой к оси ОХ, а m-ордината точки, в которой прямая пересекается с осью ОУ. И если мы будем изменять значение k , то через одну точку пересечения m с осью ОУ проходит несколько различных прямых. Если же k зафиксировать, а m менять, то получим семейство параллельных прямых. Теперь поближе познакомимся с линейными уравнениями. Линейные уравнения с двумя переменными называется уравнение вида ax+by+c=0. Если b=0, то его можно привести к виду y= -ax:b-c:b, и, положив k= -a:b и m= -c:b, получить стандартный вид y=kx+m. Если же b=0, то уравнение приводится к виду x= -c:b и мы получаем прямую, параллельную оси OY. Рассмотри подробнее случай b=0. Тогда, как было указано, мы можем привести уравнение к виду y=kx+m. Посмотрим, как меняется график функции y(x) при изменении коэффициентов k и m ,то есть как функция y(x) зависит от параметров k и m. Если k<0, то функция убывает, если k=0, то функция постоянна, и если k>0, то функция возрастает (рис. 1). Если m<0, то точка пересечения с осью ОУ будет в нижней полуплоскости, если m=0, то прямая пройдёт через начало координат, и если m>0, то график будет пересекаться с осью ОУ в верхней полуплоскости (рис. 2). k<0 k=0 k>0 m<0 m=0 m>0 рис. 1 рис. 2

П Р И М Е Р №1 Для каждого значения а определите число решений уравнения /x -2x -3/=a Решение. В этой задаче параметр уже выражен через переменную. Таким образом, надо просто аккуратно построить график данной функции. а 4 0 X Количество решений уравнения при фиксированном а определяется числом точек пересечения построенного графика с прямыми у=а, проходящими параллельно оси X. Отсюда сразу следует, что при а>4 и при а=0 имеем два решения, при а=4 – три решения, при а (0;4) – четыре решения и, наконец, при а<0 решений не существует. Ответ. Если а (4;+00), то два решения; если а 4 , то три решения; если а (0;4), то четыре решения; если а 0 , то два решения; если а (-00; 0), то нет решений.

П Р И М Е Р №2 Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение (x-p) (p(x-p) -p-1)=-1 имеет больше положительных корней, чем отрицательных. Решение. Если p=0, то данное уравнение принимает вид x =1. Это уравнение имеет корни x =1 и x =-1. Следовательно, в этом случае число положительных и число отрицательных корней одинаково, и такое p условию задачи не удовлетворяет. Пусть p=0. Обозначим z=(x-p) >0, тогда исходное уравнение принимает вид pz –(p+z)z+1=0 (*). Корнями уравнения (*) являются z =1 z =1 . 1)Если p<0, то z <0, что противоречит определению z , поэтому остается только z=1 и исходное уравнение имеет два корня: x =p+1 и x =p-1. Легко видеть, что при -1< p <0 имеем x >0 и x <0, при p<-1 имеем x <0 и x <0, а при p=-1 получаем x =0 и x =-2. Следовательно, ни при каком p<0 исходное уравнение не имеет положительных корней больше, чем отрицательных, то есть никакие значения p<0 условию не удовлетворяют.

П Р И М Е Р №2 2) Если p>0, то и z >0 исходное уравнение имеет четыре корня: x =p+1, x =p-1, x =p+ 1, x =p - 1 Пусть 0<p<1, тогда x >0, x <0, x >0, x <0, таким образом, такие p не подходят. Пусть p=1. Тогда x =2, x =0, x =2, x =0. Следовательно, p=1 подходит. Пусть p>1, тогда x >0 при i=1,2,3,4. Таким образом, подходят все p>1 Ответ. p принадлежит [1;+00).

П Р И М Е Р №3 Решите уравнение log a + log (x – 1) = log ( x-1 ) + log x+1. Решение ОДЗ: x > 1, a > 0, a = 1. log a + log (x – 1) = log ( x-1 ) + log x+1 log (a (x – 1))= log (( x – 1) x+1), a (x -1) = (x-1) (x-1)(x+1), a (x-1)(x+1) = (x-1) (x-1)(x+1) Так как x=-1 и x=1, сократим обе части уравнения на (x-1) (x-1)(x+1) a x+1= x - 1 Возведём обе части полученного уравнения в квадрат: a (x+1) = x-1 a x + a = x – 1 x(1 - a ) = a + 1 Так как a = -1 и a = 1. то x = 1+a

П Р И М Е Р №3 Для того чтобы значения x являлось решением уравнения, должно выполняться условие x>1 , то есть 1 + а Выясним, при каких значениях параметр a это неравенство истинно: 1 + a 2a Так как a >0, то полученная дробь положительна, если 1 – a > 0, то есть при a <1. Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 x является корнем исходного уравнения. Ответ. При a < 0, a = 1 уравнение не имеет смысла, при a > 1 решений нет, при 0 < a < 1 x = 1 + a

П Р И М Е Р №4 Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений имеет два действительных решения. 4y = 4b + 3 – x +2x x + y =2x Решение. Преобразуем исходную систему следующим образом: 4y = 4b + 3 – x +2x 4y = 4b+4 –(x-1) y - 4y +4b +3=0 x + y =2x (x-1) = 1-y (x-1) = 1-y Рассмотрим второе уравнение последней системы. Так как (x-1) >0, то значение переменной y должно лежать на отрезке -1;1 . Путём подстановки в систему проверяем, что при y=+1 исходная система не имеет двух действительных решений, и условие на переменную y выглядит следующим образом: y принадлежит ( -1;1) . (*) Решения первого уравнения при b< 1 имеют вид y =2+ 1-4b А при b>1 не существуют. Имеем y >2, то есть условие (*) не выполняется. Таким образом, чтобы существовало решение системы, необходимо следующее:

П Р И М Е Р №4 -1 < 2 - 1-4b < 1 2 - 1-4b <-1 1 - 4b < 3 1 – 4b < 9 2 - 1-4b <1 1 - 4b >1 1 – 4b > 1 b принадлежит (-2;0) Ответ. b принадлежит (-2;0).

Заключение Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. И работая, я способствовала расширению своего математического кругозора, интеллекта, развитию умения анализировать, сравнивать и обобщать, глубоко и прочно усвоив материал.

Л И Т Е Р А Т У Р А Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002. ОЛВЗМШ МГУ «Задачи с параметрами» «Система дополнительных занятий по математике 11 класс» С.А. Агалоков

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"

Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.