Проект по теме Логарифмы Работа выполнен презентация по теме Алгебра

  • Проект по теме :   
                                                                                                                                                              Логарифмы 
Работа выполнена учеником 11б класса МОУ Алексеевская СОШ 
Носовым Данилой 
Под руководством учителя математики
 Плешаковой Ольги Владимировны
  • Содержание

1)Из истории
2)Определение логарифма
3)Свойства логарифмов
4)Виды логарифмов
5)Источники информации
  • Из истории
  • В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. 
В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.
  • В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом:
LogNap(x) = M * (ln(M) – ln(x)) 
Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса»есть нуль — этого и добивался Непер своим определением LogNap(0) = ∞
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую.
  • Определение логарифма
                 
                    Log a b
Логарифмом числа b  по основанию a называется показатель степени,в которую нужно возвести основаниеa,чтобы получить число b
Пример log 2 8 = 3
  • Свойства 
  a log a b = b – основное логарифмическое тождество
  Log a a = 1
  Log a 1 = 0
  Log a xy = log a x + log a y
  Log a x/y = log a x – log a y
  Log a xp= p log a x    
  Log ak b = 1/k log a b
  Log aq bp = p/q log a b
  Log ak bk = log a b
  • Формула перехода
 Log a  x = log b x/log b a
Доказательство
По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем 
Log b x = log b ( a log a x )
Log b x = log a x log b a
Разделив обе части полученного равенства на log b a , приходим к нужной формуле
  • Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при a>0,a не равное 1,b>0
Наиболее распространённые:
десятичные(основание - 10)
натуральные(основание е – число Эйлера)
двоичные(основание – 2)
  • Десятичный логарифм
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. 
Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.
  • Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:
Физика — интенсивность звука (децибелы).
  • Астрономия — шкала яркости звёзд
  • Сейсмология — шкала Рихтера.
  • Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
История — логарифмическая шкала времени.
  • Химия — активность водородных ионов(pH)
 
Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.
  • Для рациональных чисел, отличных от 10k с целыми k, десятичные логарифмы суть трансцендентные числа, которые приближенно выражаются в десятичных дробях. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную - мантиссой. 
Для рациональных чисел, отличных от 10k с целыми k, десятичные логарифмы суть трансцендентные числа, которые приближенно выражаются в десятичных дробях. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную - мантиссой. 
Так как lg(10kN) = k + lnN, то десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем 10k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц логарифмов, которые содержат лишь мантиссы логарифмов целых чисел.
  • Натуральный логарифм
Логарифм по основанию e (e трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. 
Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. 
Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
  • Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = log a x, определённая при a>0 , x > 0
  • Источники
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0 BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC
http://logarithm.org.ua/
Учебник «Алгебра и начало анализа» 10-11 класса (А.Н.Колмлгоров,А.М.Абрамов,Ю.П.Дудницын,Б.М.Ивлёв,С.И.Шварцбурд)
Если вам понравился материл вы можете разместить его у вас на сайте.
Открыть доклад
Скачать
Презентация по теме Проект по теме Логарифмы Работа выполнен. Материал содержит 19 слайдов. Вы можете использовать его для подготовки к уроку Алгебра. Он будет полезен как ученикам и студентам, так и преподавателям школ и вузов. Вы можете просмотреть презентацию у нас на сайте или скачать к себе. Все материалы абсолютно бесплатны.

Проект по теме : Логарифмы Работа выполнена учеником 11б класса МОУ Алексеевская СОШ Носовым Данилой Под руководством учителя математики Плешаковой Ольги Владимировны

Содержание 1)Из истории 2)Определение логарифма 3)Свойства логарифмов 4)Виды логарифмов 5)Источники информации

Из истории

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000. Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом: LogNap(x) = M * (ln(M) – ln(x)) Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса»есть нуль — этого и добивался Непер своим определением LogNap(0) = ∞ Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую.

Определение логарифма Log a b Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени,в которую нужно возвести основаниеa,чтобы получить число b Пример log 2 8 = 3

Свойства a log a b = b – основное логарифмическое тождество Log a a = 1 Log a 1 = 0 Log a xy = log a x + log a y Log a x/y = log a x – log a y Log a xp= p log a x Log ak b = 1/k log a b Log aq bp = p/q log a b Log ak bk = log a b

Формула перехода Log a x = log b x/log b a Доказательство По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем Log b x = log b ( a log a x ) Log b x = log a x log b a Разделив обе части полученного равенства на log b a , приходим к нужной формуле

Вещественный логарифм Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при a>0,a не равное 1,b>0 Наиболее распространённые: десятичные(основание - 10) натуральные(основание е – число Эйлера) двоичные(основание – 2)

Десятичный логарифм Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например: Физика — интенсивность звука (децибелы).

Астрономия — шкала яркости звёзд

Сейсмология — шкала Рихтера.

Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков. История — логарифмическая шкала времени.

Химия — активность водородных ионов(pH) Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Для рациональных чисел, отличных от 10k с целыми k, десятичные логарифмы суть трансцендентные числа, которые приближенно выражаются в десятичных дробях. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную - мантиссой. Для рациональных чисел, отличных от 10k с целыми k, десятичные логарифмы суть трансцендентные числа, которые приближенно выражаются в десятичных дробях. Целую часть десятичного логарифма называют характеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10kN) = k + lnN, то десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем 10k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц логарифмов, которые содержат лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Натуральный логарифм Логарифм по основанию e (e трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Логарифмическая функция Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = log a x, определённая при a>0 , x > 0

Источники http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0 BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC http://logarithm.org.ua/ Учебник «Алгебра и начало анализа» 10-11 класса (А.Н.Колмлгоров,А.М.Абрамов,Ю.П.Дудницын,Б.М.Ивлёв,С.И.Шварцбурд)

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Алгебра"

Готовые презентации по алгебре можно использовать как материал для наглядного изучения новой темы на уроке алгебры: учитель демонстрирует изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показывает примеры по решению задач и уравнений, а также проверяет знания учеников с помощью ответов на вопросы. В данном разделе Вы можете скачать готовые презентации по алгебре и началу анализа для 6,7,8,9,10,11 класса.